Lorenz-System
Als eines der prominentesten Beispiele für ein chaotisches System
kann das Wetter gelten.
So versuchte der Meteorologe Edward Lorenz 1956
eine Analyse zur Wettervorhersage, der er ein relativ einfaches
mathematisches Gleichungssystem zu Grunde legte (erschienen ist diese
Arbeit von Lorenz 1963).
Obwohl das mathematische Gleichungssystem das Verhalten dieses
theoretischen Systems vollständig determinierte,
stieß er zufällig auf einen „Mangel
an Vorhersagbarkeit bei
ungenauen Ausgangsbedingungen“
und entdeckte damit ein Verhalten, welches er als Schmetterlingseffekt
bezeichnete.
Die Animation (oben) zeigt die Phasenraumdarstellung des von Lorenz benutzten Wettermodells im chaotischen Zustand. Die drei generierenden Gleichungen sind relativ einfach. Sie lauten:
Hinsichtlich
ihrer physikalischen Bedeutung beschreiben die Gleichungen Konvektionsströme,
wie sie auch in Flüssigkeiten beobachtet werden können (sog.
Bénard-Konvektion).
Nach Lorenz ist x der Stärke
konvektiver Bewegung proportional,
z ist ein Maß der Abweichung vom
linearen vertikalen Temperaturprofil und y ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen aufsteigenden
und abfallenden Strömungen. s, r und b sind Konstanten
des Systems, die je nach Zahlenwert entweder zu einfachen regulären Zyklen,
zu komplexen Zyklen (Torus) oder zu Chaos führen (Wege
ins Chaos). Typische Werte für Chaos
sind
r = 29, s = 10, b = 8/3.
Für nicht zu große r sollen die Gleichungen ein realistisches Modell konvektiver
Bewegung darstellen.